Question

銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知ctanB是btanA和btanB的等差中項．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若

m

=（sinB，sinC），

n

=（cosB，cosC），求

m

•

n

的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數量積的運算

專題：解三角形

分析：（I）由ctanB是btanA和btanB的等差中項，可得2ctanB=btanA+btanB，利用正弦定理化為cosA=

1

2

，∵由A∈（0，π），即可得出A=

π

3

．
（II）利用數量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式可得

m

•

n

=

3

2

sin(2B-

π

6

)，由于0＜B＜

π

2

，0＜C＜

π

2

，B+C=

2π

3

，可得

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，

1

2

＜sin(2B-

π

6

)≤1，即可得出

m

•

n

的取值范圍．

解答： 解：（I）∵ctanB是btanA和btanB的等差中項，
∴2ctanB=btanA+btanB，
∴2sinC•

sinB

cosB

=sinB•

sinA

cosA

+sinB•

sinB

cosB

，
化為sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA，
∴sinC=2sinCcosA，
∴cosA=

1

2

，
∵A∈（0，π），∴A=

π

3

．
（II）

m

•

n

=sinBcosB+sinCcosC=

1

2

sin2B+

1

2

sin2C=

1

2

sin2B+

1

2

sin(

4π

3

-2B)=

3

2

sin(2B-

π

6

)，
∵0＜B＜

π

2

，0＜C＜

π

2

，B+C=

2π

3

，
∴

π

6

＜B＜

π

2

，∴

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(2B-

π

6

)≤1，
∴

m

•

n

的取值范圍是(

3

4

，

3

2

]．

點評：本題考查了等差數列的性質、正弦定理、數量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、三角函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．