Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c，在定義域x∈[-2，2]上表示的曲線過原點，且在x=±1處的切線斜率均為-1．有以下命題：
①f（x）是奇函數；②若f（x）在[s，t]內遞減，則|t-s|的最大值為4；③f（x）的最大值為M，最小值為m，則M+m=0； ④若對?x∈[-2，2]，k≤f′（x）恒成立，則k的最大值為2．其中正確命題的序號為    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意可得f（0）=0，f′（1）=f′（-1）=-1，代入可求a，b，c，進而可求f（x）
①由于f（-x）=-x³+4x=-f（x），即f（x）是奇函數
②若f（x）在[s，t]內遞減，則t=，s=-時|t-s|的最大；
③由奇函數的關于原點對稱可知，最大值與最小值互為相反數，
④若對?x∈[-2，2]，由于f′（x）=3x²-4∈[-4，8]，則k≤f′（x）恒成立，則k≤f′（x）_min即可求解k，
解答：解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c，在定義域x∈[-2，2]上表示的曲線過原點，
∴f（0）=0
∴c=0
∵f′（x）=3x²+2ax+b，且在x=±1處的切線斜率均為-1．
∴f′（1）=f′（-1）=-1
∴，解可得b=-4，a=0
∴f（x）=x³-4x，f′（x）=3x²-4
①∵f（-x）=-x³+4x=-f（x），即f（x）是奇函數；①正確
②由f′（x）≥0得x或xf（x）在內單調遞減，若f（x）在[s，t]內遞減，則，t=，s=-時|t-s|的最大值為；②錯誤
③由奇函數的關于原點對稱可知，最大值與最小值互為相反數，f（x）的最大值為M，最小值為m，則M+m=0；③正確
④若對?x∈[-2，2]，由于f′（x）=3x²-4∈[-4，8]，則k≤f′（x）恒成立，則k≤-4，則k的最大值為-4．④錯誤
正確命題的序號為①③
故答案為：①③
點評：本題主要考查了函數的導數的幾何意義的應用，函數的奇偶性及單調性等知識的綜合應用．