如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似．已知橢圓C與橢圓
相似，且橢圓C的一個短軸端點是拋物線
的焦點．
(Ⅰ)試求橢圓C的標準方程；
(Ⅱ)設橢圓E的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，直線l∶y＝kx＋t(k≠0，t≠0)與橢圓C交于A，B兩點，且與橢圓E交于H，K兩點．若線段AB與線段HK的中點重合，試判斷橢圓C與橢圓E是否為相似橢圓？并證明你的判斷．
解析：(Ⅰ)橢圓
的離心率為
1分
拋物線
的焦點為
． 2分
設橢圓
的方程為
，
由題意，得： 
，解得
，
∴橢圓
的標準方程為 
． 5分
(Ⅱ)解法一：橢圓與橢圓
是相似橢圓． 6分
聯立橢圓
和直線
的方程，
，消去
，
得
， 7分
設
的橫坐標分別為
，則
． 8分
設橢圓
的方程為
， 9分
聯立方程組
，消去
，得
，
設
的橫坐標分別為
，則
． 10分
∵弦
的中點與弦
的中點重合， 11分
∴
，
，
∵
，∴化簡得
， 11分
求得橢圓的離心率
， 12分
∴橢圓與橢圓是相似橢圓．
解法二：設橢圓的方程為，
并設
．
∵
在橢圓上，
∴
且
，兩式相減變恒等變形得
． 7分
由在橢圓上，仿前述方法可得
． 10分
∵弦的中點與弦的中點重合，
∴， 12分
求得橢圓的離心率， 10分
∴橢圓與橢圓是相似橢圓．
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年甘肅省高三上學期期末考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
（本小題滿分12分）
如果兩個橢圓的離心率相等，那么就稱這兩個橢圓相似.已知橢圓
與橢圓
相似，且橢圓的一個短軸端點是拋物線
的焦點.
（Ⅰ）試求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設橢圓
的中心在原點，對稱軸在坐標軸上，直線
與橢圓交于
兩點，且與橢圓交于
兩點.若線段
與線段
的中點重合，試判斷橢圓與橢圓是否為相似橢圓？并證明你的判斷.
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年福建省泉州市高三第二次質量檢測數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題
相似，且橢圓C的一個短軸端點是拋物線
的焦點．查看答案和解析>>
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