Question

北京市各級各類中小學每年都要進行“學生體質健康測試”，測試總成績滿分為X分，規定測試成績在X之間為體質優秀；在X之間為體質良好；在X之間為體質合格；在X之間為體質不合格．
現從某校高三年級的X名學生中隨機抽取X名學生體質健康測試成績，其莖葉圖如下：

（Ⅰ）試估計該校高三年級體質為優秀的學生人數；
（Ⅱ）根據以上X名學生體質健康測試成績，現采用分層抽樣的方法，從體質為優秀和良好的學生中抽取X名學生，再從這X名學生中選出X人．
（ⅰ）求在選出的X名學生中至少有X名體質為優秀的概率；
（ⅱ）記X為在選出的X名學生中體質為良好的人數，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據抽樣的定義和條件即可估計該校高三年級體質為優秀的學生人數；
（Ⅱ）求出隨機變量的分布列以及數學期望公式進行計算即可．

解答：解：（Ⅰ）根據抽樣，估計該校高三學生中體質為優秀的學生人數有

10

30

×300=100人．
（Ⅱ）依題意，體質為良好和優秀的學生人數之比為 15：10=3：2．
所以，從體質為良好的學生中抽取的人數為

3

5

×5=3，從體質為優秀的學生中抽取的人數為

2

5

×5=2．
（ⅰ）設“在選出的3名學生中至少有名體質為優秀”為事件A，
則 P(A)=1-

C 3 3

C 3 5

=

9

10

． 故在選出的3名學生中至少有名體質為優秀的概率為

9

10

．
（ⅱ）解：隨機變量X的所有取值為1，2，3.P(X=1)=

C 1 3 • C 2 2

C 3 5

=

3

10

，P(X=2)=

C 2 3 • C 1 2

C 3 5

=

6

10

，P(X=3)=

C 3 3

C 3 5

=

1

10

． 
所以，隨機變量X的分布列為：

X	1	2	3
P	3 10	6 10	1 10

EX=1×

3

10

+2×

6

10

+3×

1

10

=

9

5

．

點評：本題主要考查莖葉圖的應用以及隨機變量的分布列和數學期望的計算，考查學生的計算能力．