Question

已知正項數列{a_n}滿足a_n-1-a_n=a_na_n-1（n≥2，n∈N⁺），a₁=1．
（Ⅰ）求證數列{

1

an

}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=

2n-1

an

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對等式兩邊同除以a_na_n-1可得

1

an

-

1

an-1

=1，根據等差數列的定義可得結論，然后利用等差數列的通項公式可求得

1

an

，進而可得a_n；
（Ⅱ）表示出b_n，利用錯位相減法可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）由a_n-1-a_n=a_na_n-1（n≥2，n∈N^*），得

1

an

-

1

an-1

=1，
∴數列{

1

an

}是公差為1的等差數列，

1

an

=

1

a1

+n-1=n，得a_n=

1

n

；
（Ⅱ）b_n=n•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，
則2•T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
兩式相減，得-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ+1．

點評：本題考查由數列遞推式求數列通項及數列求和，錯位相減法對數列求和是高考考查的重點內容，要熟練掌握．