Question

【題目】

在平面直角坐標系中，N為圓C：上的一動點，點D（1,0），點M是DN的中點，點P在線段CN上，且.

（Ⅰ）求動點P表示的曲線E的方程；

（Ⅱ）若曲線E與x軸的交點為，當動點P與A，B不重合時，設直線與的斜率分別為，證明：為定值；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）證明見解析過程.

【解析】

（Ⅰ）根據點M是DN的中點，又，可知PM垂直平分DN.所以，又，所以.這樣利用橢圓的定義可以求出橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設，則，利用斜率公式，可以證明出為定值.

（Ⅰ）由點M是DN的中點，又，可知PM垂直平分DN.所以，又，所以.

由橢圓定義知，點P的軌跡是以C，D為焦點的橢圓.

設橢圓方程為.

又可得

所以動點P表示的曲線E的方程為.

（Ⅱ）證明：

易知A（-2,0），B（2,0）. 設，則，即，

則，，

即，

∴為定值．