Question

在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)P₁（1，2），P₂（2，2²），P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ），其中n是正整數(shù)，對(duì)平面上任一點(diǎn)A₀，記A₁為A₀關(guān)于點(diǎn)P₁的對(duì)稱點(diǎn)，A₂為A₁關(guān)于點(diǎn)P₂的對(duì)稱點(diǎn)，…，A_n為A_n-1關(guān)于點(diǎn)P_n的對(duì)稱點(diǎn)．
（1）求向量

A0A2

的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)A₀在曲線C上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A₂的軌跡是函數(shù)y=f（x）的圖象，其中f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，3]時(shí)，f（x）=lgx．求以曲線C為圖象的函數(shù)在（1，4]上的解析式．

Answer 1

分析：（1）若兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于第三點(diǎn)對(duì)稱，則第三點(diǎn)為這兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)，所以先設(shè)出A₀的坐標(biāo)，利用對(duì)稱求出A₁坐標(biāo)，A₂坐標(biāo)，就可以得到向量

A0A2

的坐標(biāo)．
（2）先根據(jù)函數(shù)y=f（x）的周期性和x∈（0，3]時(shí)，f（x）的解析式求出x∈（3，6]時(shí)，f（x）的解析式，再把（1）中求出A₂點(diǎn)坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)，即得當(dāng)x₀∈（1，4]時(shí)x₀，y₀滿足的關(guān)系式，即為以曲線C為圖象的函數(shù)在（1，4]上的解析式．

解答：解：（1）設(shè)A₀（x₀，y₀），∵A₁為A₀關(guān)于點(diǎn)P₁的對(duì)稱點(diǎn)，
∴A₁坐標(biāo)為（2-x₀，4-y₀）
∵A₂為A₁關(guān)于點(diǎn)P₂的對(duì)稱點(diǎn)，∴A₂坐標(biāo)為（2+x₀，4+y₀）
∴

A0A2

=(2，4)；
（2）∵f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，3]時(shí)，f（x）=lgx
∴當(dāng)x∈（3，6]時(shí)，f（x）=lg（x-3）
∵A₂的軌跡是函數(shù)y=f（x）的圖象，
∴當(dāng)2+x₀∈（3，6]時(shí)，4+y₀=lg（2+x₀-3）=lg（x₀-1），
即x₀∈（1，4]時(shí)，4+y₀=lg（x₀-1），y₀=lg（x₀-1）-4，
∴A₀（x₀，y₀）點(diǎn)滿足y=lg（x-1）-4．
∴當(dāng)x∈（1，4]時(shí)，g（x）=lg（x-1）-4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，以及利用函數(shù)周期性求函數(shù)解析式的方法．