Question

已知橢圓（a>b>0）的焦距為，離心率為。
（1）求橢圓的方程；
（2）設過橢圓頂點B（0，b），斜率為k的直線交橢圓于另一點D，交x軸于點E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比數列，求k²的值。

Answer 1

解：（1）由已知
解得a=2，
所以b²=a²-c²=1
橢圓的方程為。
（2）由（1）得過B點的直線為y=kx+1，
由得（4k²+1）x²+8kx=0
所以，
依題意k≠0，
因為|BD|，|BE|，|DE|成等比數列
所以|BE|²=|BD||DE|
所以b²=（1- y_D）|y_D|，即（1-y_D）|y_D|=1，
當y_D>0時，，無解，
當y_D＜0時，，解得
所以，解得
所以，當|BD|，|BE|，|DE|成等比數列時，。