Question

17．已知函數f（x）=x|x-a|+b，x∈R
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若a＞0，函數 f（x）在區間[2，3]上為減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論a=0，b=0時，a≠0或b≠0時，即可判斷奇偶性；
（2）寫出分段函數式，求得f（x）的減區間，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤2}\\{a≥3}\end{array}\right.$，可得a的范圍．

解答 解：（1）當a=0，b=0時，f（x）=x|x|為奇函數；
當a≠0或b≠0時，f（x）為非奇非偶函數．
（2）函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+b，x≥a}\\{-{x}^{2}+ax+b，x＜a}\end{array}\right.$，
當x≤a時，f（x）的遞減區間為[$\frac{a}{2}$，a]，
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤2}\\{a≥3}\end{array}\right.$，
解得3≤a≤4．

點評 本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷和運用，考查運算能力，屬于中檔題．