Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E為CD的中點，將△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到幾何體D-ABCE．
（1）求證：BE⊥平面ADE；
（2）求BD和平面CDE所成的角的正弦值．

Answer 1

證明：（1）∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E為CD的中點，∴∠AED=45°，
同理∠CEB=45°，于是∠AEB=90°，∴BE⊥AE．
∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，
∴BE⊥平面ADE．
（2）在平面CDE內，過C作CE的垂線，與過D作CE的平行線交于F，
∵BC⊥EC，CF∩BC=C，∴EC⊥平面BCF．
再過B作BG⊥CF于G，可得EC⊥BG．
連接DG，可得BG⊥平面CDE；
∴∠BDG為BD和平面CDE所成的角．
過D作DH⊥AE交AE于點H，連接CH，BH．
在△DHC中，△DHB中，可得，又DE=EC=1，因此∠DCE=∠CDF=30°，
∵CF⊥DF，∴．
由題意得，∴，
因此，
∴BD和平面CDE所成的角的正弦值為．
分析：（1）由題意可得BE⊥AE，又平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，利用面面垂直的性質定理即可證明BE⊥平面ADE．
（2）在平面CDE內，過C作CE的垂線，與過D作CE的平行線交于F，由BC⊥EC，CF∩BC=C，可得EC⊥平面BCF．再過B作BG⊥CF于G，可得EC⊥BG．連接DG，可得BG⊥平面CDE；故∠BDG為BD和平面CDE所成的角．利用直角三角形的邊角關系求出BG，BD即可．
點評：熟練掌握線面、面面垂直的判定與性質定理、線面角的定義、直角三角形的邊角關系是解題的關鍵．