Question

已知函數f（x）=x³+3（a-1）x²-12ax+b在x=x₁處取得極大值M，在x=x₂處取得極小值N，
（1）若f（x）的圖象在其與y軸的交點處的切線方程是24x-y-10=0，求x₁，x₂，M，N的值
（2）若f（1）＞f（2），且x₂-x₁=4，b=10求f（x）的單調區間及M，N的值．

Answer 1

解：f′（x）=3x²+6（a-1）x-12a=3（x+2a）（x-2）
（1）由題設知f（0）=-10，且f'（0）=24
∴b=-10，a=-2（2分）
∴f（x）=x³-9x²+24x-10 f′（x）=3（x-4）（x-2）
當x∈（-∞，2]時f′（x）＞0，f（x）在（-∞，2]上單調遞增，
當x∈[2，4]時f′（x）＜0，f（x）在[2，4]上單調遞減，
當x∈[4，+∞）時f′（x）＞0，f（x）在（-∞，2]上單調遞增，（2分）
∴當x=2時，f（x）取得極大值10，當x=4時，f（x）取得極小值6
即x₁=2，x₂=4，M=10，N=6（2分）
（2）∵f′（x）=3（x+2a）（x-2）
若-2a＞2，則f（x）在（-∞，2]上遞增，與f（1）＞f（2）矛盾
若-2a=2，則f'（x）≥0，f（x）無極值，與題設矛盾，（2分）
∴-2a＜2，f（x）在（-∞，-2a]和[2，+∞）上單調遞增，在[-2a，2]上單調遞減，
∴x₁=-2a，x₂=2，從而2+2a=4，∴a=1（3分）
故f（x）的單調遞增區間是（-∞，-2]和[2，+∞），單調遞減區間是[-2，2]f（x）=x³-12x+10，M=26，N=-6（2分）
分析：（1）利用導數為0，通過切線方程是24x-y-10=0，求出a，b，得到函數的表達式，求出x₁，x₂，M，N的值．
（2）求出函數的導數，利用函數的單調性，以及f（1）＞f（2），且x₂-x₁=4，b=10，即可求f（x）的單調區間及M，N的值．
點評：本題是中檔題，考查函數的導數與函數的極值最值的關系，注意函數的導數與直線的斜率的關系，考查計算能力．