Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 數列{ }的公差為1的等差數列，且a2=3，a3=5．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設bn=an3n ， 求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：數列{ }的公差為1的等差數列，∴ =a1+n﹣1，可得Sn=n（a1+n﹣1），

∴a1+a2=2（a1+1），a1+a2+a3=3（a1+2），且a2=3，a3=5．

解得a1=1．

∴Sn=n2．

∴n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1（n=1時也成立）．

∴an=2n﹣1

（2）解：bn=an3n=（2n﹣1）3n，

∴數列{bn}的前n項和Tn=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）3n，

∴3Tn=32+3×33+…+（2n﹣3）3n+（2n﹣1）3n+1，

∴﹣2Tn=3+2×（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）3n+1=3+2× ﹣（2n﹣1）3n+1，

可得Tn=3+（n﹣1）3n+1

【解析】（1）數列{ }的公差為1的等差數列，可得 =a1+n﹣1，Sn=n（a1+n﹣1），分別取n=2，3，及其a2=3，a3=5．解得a1=1．可得Sn=n2 ． 利用遞推關系即可得出．（2）bn=an3n=（2n﹣1）3n ， 利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)，還要掌握數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)的相關知識才是答題的關鍵．