Question

已知函數f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）是R上的偶函數，其圖象關于點對稱，且在區間上是單調函數，求ϕ和ω的值．

Answer 1

【答案】分析：由f（x）是偶函數可得ϕ的值，圖象關于點對稱可得函數關系，可得ω的可能取值，結合單調函數可確定ω的值．
解答：解：由f（x）是偶函數，得f（-x）=f（x），
即sin（-ωx+∅）=sin（ωx+∅），
所以-cos∅sinωx=cos∅sinωx，
對任意x都成立，且w＞0，
所以得cos∅=0．
依題設0＜∅＜π，所以解得∅=，
由f（x）的圖象關于點M對稱，
得，
取x=0，得f（）=sin（）=cos，
∴f（）=sin（）=cos，
∴cos=0，又w＞0，
得=+kπ，k=1，2，3，
∴ω=（2k+1），k=0，1，2，
當k=0時，ω=，f（x）=sin（）在[0，]上是減函數，滿足題意；
當k=2時，ω=，f（x）=（x+）在[0，]上不是單調函數；
所以，綜合得ω=或2．
點評：本題主要考查三角函數的圖象、單調性、奇偶性等基本知識，以及分析問題和推理計算能力．