Question

等差數列{a_n}中，a₁＜0,S₉=S₁₂,該數列前多少項的和最小？

Answer 1

該數列前10項或前11項的和最小

由條件S₉=S₁₂可得
9a₁+d=12a₁+d，即d=-a₁.
由a₁＜0知d＞0,即數列{a_n}為遞增數列.
方法一 由，
得,解得10≤n≤11.
∴當n為10或11時，S_n取最小值，
∴該數列前10項或前11項的和最小.
方法二 ∵S₉=S₁₂，∴a₁₀+a₁₁+a₁₂=3a₁₁=0，∴a₁₁=0.
又∵a₁＜0,∴公差d＞0，從而前10項或前11項和最小.
方法三 ∵S₉=S₁₂，
∴S_n的圖象所在拋物線的對稱軸為x==10.5,
又n∈N^*，a₁＜0,∴{a_n}的前10項或前11項和最小.
方法四 由S_n=na₁+d=+n，
結合d=-a₁得
S_n=·n²+·n
=-+a₁（a₁＜0），
由二次函數的性質可知n==10.5時，S_n最小.
又n∈N^*，故n=10或11時S_n取得最小值.