Question

已知函數f(x)=2x，g(x)=

1

2|x|

+2
（1）求函數 g（x）的值域；
（2）求函數h（x）=f（x）-g（x）的零點．
（3）當x＜0時，解不等式f（x）+g（x）＞3．

Answer 1

分析：（1）根據函數 g（x）=

1

2|x|

+2，且 2^|x|≥1，可得 2＜

1

2|x|

+2≤3，從而求得函數 g（x）的值域．
（2）分x≥0和x＜0兩種情況，分別求得函數h（x）的零點，從而得出結論．
（3）當x＜0時，不等式即 2^x+

1

2-x

+2＞3，即 2^2x+2^x-1＞0，求得2^x的范圍，即可求得x的范圍．

解答：解：（1）∵函數 g（x）=

1

2|x|

+2，而 2^|x|≥1，∴2＜

1

2|x|

+2≤3，
故函數 g（x）的值域為（2，3]．
（2）函數h（x）=f（x）-g（x）=2^x-

1

2|x|

-2，當x≥0時，h（x）=2^x-

1

2x

-2．
令 h（x）=0 可得2^2x-2•2^x-1=0，解得 2^x=1+

2

，或 2^x=1-

2

（舍去），故x=log2(1+

2

)．
當x＜0時，h（x）=-2，故h（x）無零點．
綜上，函數h（x）的零點是 x=log2(1+

2

)．
（3）當x＜0時，0＜2^x＜1，不等式f（x）+g（x）＞3，即 2^x+

1

2-x

+2＞3，即 2^2x+2^x-1＞0．
解得 2^x＜

-1- 5

2

（舍去），或 2^x＞

-1+ 5

2

，
綜合可得，1＞2^x＞

-1+ 5

2

，故有0＞x＞log2

-1+ 5

2

，故不等式的解集為{x|0＞x＞log2

-1+ 5

2

}．

點評：本題主要考查求函數的值域，指數函數、對數函數的性質應用，一元二次不等式的解法，對數不等式的解法，函數的零點的定義，屬于中檔題．