Question

17．已知f（x）是定義在R上的不恒為0的函數，若對于任意的實數a、b都滿足f（ab）=af（b）+bf（a），則函數f（x）（　　）

• A． 是奇函數
• B． 是偶函數
• C． 既是奇函數又是偶函數
• D． 既不是奇函數又不是偶函數

Answer 1

分析 由題意可得給a，b賦值，即令a=b=1，可得f（1）=0，再令a=b=-1，可得f（-1）=0，令a=x，b=-1，即可得到答案．

解答 解：由題意可得：令a=b=1，則有f（1）=2f（1），
所以f（1）=0，
再令a=b=-1，則有f（1）=-2f（-1），
所以f（-1）=0，
若令a=x，b=-1，
所以有f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），即f（-x）=-f（x），
所以f（x）為奇函數．
故選：A．

點評 本題考查了函數奇偶性的定義，即f（-x）與f（x）的關系，而研究抽象函數的奇偶性一般運用的方法是賦值法，此題是個基礎題．