Question

把自然數按上小下大、左小右大的原則排成如圖的三角形數表（每行比上一行多一個數）．設a_ij（i，j∈N^*）是位于這個三角形數表中從上往下數第i行、從左往右數的第j個數（如a₄₂=8）．
（1）試用i表示a_ii（不要求證明）；
（2）若a_ij=2008，求i，j的值；
（3）記三角形數表從上往下數第n行的各數之和為b_n，令，若數列{c_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可知三角形數表中前n行的個數，進而可推知第i行的最后一個數進而可得a_ii．
（2）先求使得i是不等式的最小正整數解．由，得i²+i-4016≥0進而可解得i的范圍確定i的最小值．
（3）先求得前n行的所有自然數的和進而根據b_n=S_n-S_n-1求得b_n，代入C_n中進而通過裂項法求得T_n．
解答：解：（1）∵三角形數表中前n行共有個，
即第i行的最后一個數是
∴a_ii=
（2）由題意，先求使得i是不等式的最小正整數解．
由，得i²+i-4016≥0
∵i∈N^*，∴，∴i=63

（3）前n行的所有自然數的和為
則，
所以，當n≥2時，，
=
當n=1時，T_n=1也適合，
∴．
點評：本題主要考查了數列的遞推式．數列的遞推式是高考中常考的題目，常與求數列的通項公式和前n項和一塊考查，有時也涉及與函數、不等式等問題，綜合性很強．