Question

已知函數f（x）=a^x（a＞0且a≠1）
（1）若f（x₀）=2，求f（3x₀）
（2）若f（x）的圖象過點（2，4），記g（x）是f（x）的反函數，求g（x）在區間[

1

2

，2]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由函數的表達式，得ax0=2，而f（3x₀）=a3x0，結合指數運算法則，得f（3x₀）=2³=8；
（2）由f（x）的圖象過點（2，4），解出a=2（舍負），從而f（x）的解析式為f（x）=2^x，其反函數為g（x）=log₂x，由對數函數的單調性和對數運算法則，不難得到g（x）在區間[

1

2

，2]上的值域．

解答：解：（1）∵f（x₀）=ax0=2，
∴f（3x₀）=a3x0=（ax0）³=2³=8…4分
（2）∵f（x）的圖象過點（2，4），
∴f（2）=4，即a²=4，解之得a=2（舍負）…6分  
因此，f（x）的表達式為y=2^x，
∵g（x）是f（x）的反函數，
∴g（x）=log₂x，…8分
∵g（x）區間[

1

2

，2]上的增函數，g（

1

2

）=log₂

1

2

=-1，g（2）=log₂2=2，
∴g（x）在區間[

1

2

，2]上的值域為[-1，1]．…12分

點評：本題給出指數函數，在已知圖象經過定點的情況下求它的反函數的值域，著重考查了指對數函數的圖象與性質和指對數運算法則等知識，屬于基礎題．