Question

已知數列{a_n}和等比數列{b_n}滿足：a₁=b₁=4，a₂=b₂=2，a₃=1，且數列{a_n+1-a_n}是等差數列，n∈N^*，
（Ⅰ）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）問是否存在k∈N^*，使得？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設可知，，由此能夠推出．
（Ⅱ）設，由題設條件知，由此入手能夠推導出存在k=5，使得．
解答：解：（Ⅰ）由題設可知，，
∵a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1，
∴a_n+1-a_n=-2+（n-1）×1=n-3，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）++（a_n-a_n-1）=，
∴．
（Ⅱ）設，
顯然，n=1，2，3時，c_n=0，
又，
∴當n=3時，，∴，
當n=4時，，∴，
當n=5時，，∴，
當n≥6時，恒成立，
∴c_n+1=a_n+1-b_n+1＞3+c_n＞3恒成立，
∴存在k=5，使得．
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．