Question

【題目】函數f（x）是定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數，當x＞0時， ．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論函數f（x）的單調性，并求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是偶函數，

∴f（﹣x）=f（x）

設x＜0，則﹣x＞0，f（﹣x）=

∴

∴

（2）解：當x＞0時， ，

令f'（x）=0x=2

∴當x∈（0，2）時，f'（x）＜0，f（x）是減函數，

x∈（2，+∞）時，f'（0）＞0，f（x）是增函數，

且函數f（x）在此區間上有極小值y極小=f（2）=5

又f（x）是偶函數，其圖象關于y軸對稱

∴x＜0時，f（x）的增區間為（﹣2，0），減區間為（﹣∞，﹣2）

綜上所述，f（x）在區間（﹣∞，﹣2）和（0，2）上是減函數

在區間（﹣2，0）和（2，+∞）上是增函數，值域為f（x）∈[5，+∞）

【解析】①先由奇偶性尋求f（﹣x）與f（x）的關系，再設x＜0，則﹣x＞0，按照求函數值求解；②用導數判斷單調性，確定單調區間求得值域．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數奇偶性的性質和奇偶性與單調性的綜合的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇；奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．