Question

（2004•黃埔區一模）當k∈R，k為定值時，函數f（x）=

x2+k

+

1

x2+k

的最小值為

當k≤1時，為2；當k＞1時，為

k

+

1

k

．

Answer 1

分析：先觀察函數的解析式，當k≤1時，利用基本不等式求得函數的最小值；再看k＞1時令t=

x2+k

，然后對f（t）進行求導，判斷出函數在[

k

，+∞）上的單調性，進而求得函數的最小值，最后綜合答案可得．

解答：解：f（x）=

x2+k

+

1

x2+k

，
①當k≤1時，

x2+k

+

1

x2+k

≥2，
當且僅當x=±

1-k

時取等號，y_min=2．
②當k＞1時，令t=

x2+k

（t≥

k

）．
y=f（t）=t+

1

t

．f'（t）=1-

1

t2

＞0．
∴f（t）在[

k

，+∞）上為增函數．
∴y≥f（

k

）=

k+1

k

，等號當t=

k

即x=0時成立，y_min=

k+1

k

．
綜上，0＜k≤1時，y_min=2；
k＞1時，y_min=

k+1

k

=

k

+

1

k

．
故答案為：當k≤1時，為2；當k＞1時，為

k

+

1

k

．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．考查了學生函數思想和分類討論思想的應用和基本不等的靈活應用．