Question

已知函數f(x)=4cosxsin(x+

π

6

)-1
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區間[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數關系將f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1轉化為f（x）=2sin（2x+

π

6

），即可求得f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+

π

6

），x∈[-

π

6

，

π

4

]，利用正弦函數的單調性質即可求其的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1
=4cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

），
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

6

，

π

4

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
-1≤2sin（2x+

π

6

）≤2．
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-1．

點評：本題考查兩角和與差的三角函數關系與二倍角的公式，考查正弦函數的單調性，求得f（x）的解析式是關鍵，屬于中檔題．