Question

據某城市2002年末所作的統計資料顯示，到2002年末，該城市堆積的垃圾已達50萬噸，侵占了大量的土地，并且成為造成環境污染的因素之一．根據預測，從2003年起該城市還將以每年3萬噸的速度產生新的垃圾，垃圾的資源化和回收處理已經成為該市城市建設中的重要問題．
（1）假設1992年底該城市堆積的垃圾為10萬噸，從1993年到2002年這十年中，該城市每年產生的新垃圾以8%的年平均增長率增長，試求1993年該城市產生的新垃圾約有多少萬噸？（精確到0.01，參考數據：1.08¹⁰≈2.159）
（2）如果從2003年起，該市每年處理上年堆積垃圾的20%，現有b₁表示2003年底該市堆積的垃圾數量，b₂表示2004年底該市堆積的垃圾數量…b_n表示2002+n年底該城市堆積的垃圾數量，①求b₁；②試歸納出b_n的表達式（不用證明）；③計算

lim

n→∞

b_n，并說明其實際意義．

Answer 1

分析：（1）要求1993年該城市產生的新垃圾約有多少萬噸，我們可以設1993年該城市產生的新垃圾約有X萬噸，然后由1992年底該城市堆積的垃圾為10萬噸，從1993年到2002年這十年中，該城市每年產生的新垃圾以8%的年平均增長率增長，到2002年末，該城市堆積的垃圾已達50萬噸，構造關于X的方程，解方程，即可得到結果．
（2）由2002年末，該城市堆積的垃圾已達50萬噸，從2003年起，該市每年處理上年堆積垃圾的20%，現有b₁表示2003年底該市堆積的垃圾數量，我們易代入得到b_n=50×（

4

5

）ⁿ+3×（

4

5

）^n-1+3×（

4

5

）^n-2++3×

4

5

+3，然后利用極限思想，求出

lim

n→∞

b_n的值．

解答：解：（1）設1993年該城市產生的新垃圾為x萬噸．依題意，得
10+x+1.08x+1.08²x++1.08⁹x=50，
∴

1-1.0810

1-1.08

•x=40．
∴x=

0.08

1.0810-1

×40≈2.76萬噸．
∴1993年該城市產生的新垃圾約為2.76萬噸．
（2）①b₁=50×80%+3=43（萬噸）．
②∵b₁=50×80%+3=50×

4

5

+3，
b₂=

4

5

b₁+3=50×（

4

5

）²+3×

4

5

+3，
b₃=

4

5

b₂+3=50×（

4

5

）³+3×（

4

5

）²+3×

4

5

+3，
∴可歸納出b_n=50×（

4

5

）ⁿ+3×（

4

5

）^n-1+3×（

4

5

）^n-2++3×

4

5

+3
=50×（

4

5

）ⁿ+3×

1-( 4 5 )n

1- 4 5

=50×（

4

5

）ⁿ+15[1-（

4

5

）ⁿ]=35×（

4

5

）ⁿ+15．
③

lim

n→∞

b_n=

lim

n→∞

[35×（

4

5

）ⁿ+15]=15．
這說明，按題目設想的方法處理垃圾，該市垃圾總量將逐年減少，但不會少于15萬噸．

點評：函數的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（小）是最優化問題中，最常見的思路之一．