Question

已知點P（2，0）及圓C：x²+y²-6x+4y+4=0。
（1）若直線l過點P且與圓心C的距離為1，求直線l的方程；
（2）設過點P的直線l₁與圓C交于M、N兩點，當|MN|=4時，求以線段MN為直徑的圓Q的方程；
（3）設直線ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點，是否存在實數a，使得過點P（2，0）的直線l₂垂直平分弦AB？若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設直線的斜率為k（k存在），
則方程為，即，
又圓C的圓心為（3，-2），半徑r=3，
由， 解得，
所以，直線的方程為，即，
當的斜率不存在時，的方程為x=2，經驗證x=2也滿足條件。
（2）由于，而弦心距，
所以，
所以P恰為MN的中點，
故以MN為直徑的圓Q的方程為。
（3）把直線，代入圓C的方程，
消去y，整理得，
由于直線交圓C于A，B兩點，
故，
即，解得：，
則實數a的取值范圍是。
設符合條件的實數a存在，由于垂直平分弦AB，故圓心C（3，-2）必在上，
所以的斜率，而，所以，
由于，
故不存在實數a，使得過點P（2，0）的直線垂直平分弦AB。