Question

某廠家2008年擬舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量m萬件（即該廠的年產量）與促銷費用x萬元（x≥0）滿足m=3-

2

x+1

．已知2008年生產該產品m萬件的成本C=16m+8萬元，廠家將每件產品的銷售價定為每件產品成本的1.5倍．
（Ⅰ）試將2008年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用x萬元的函數；
（Ⅱ）該廠家2008年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？
（利潤=銷售額-成本-促銷費用）

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據“利潤=銷售額-成本-促銷費用”得：利潤函數y=（1.5-1）C-x，代入C，m整理即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利潤函數y的解析式，構造并應用基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0），求出結果．

解答：解：（Ⅰ）依題意，得：利潤函數y=（1.5-1）C-x=0.5（16m+8）-x
=8m+4-x=8(3-

2

x+1

)+4-x=28-

16

x+1

-x（其中x≥0）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：y=29-(

16

x+1

+x+1)≤29-2

16 x+1 •(x+1)

=21
當且僅當

16

x+1

=x+1，即x=3時取等號，
所以，廠家2008年的促銷費用投入3萬元時，廠家的最大利潤為21萬元．

點評：本題考查了利潤函數模型的應用，同時考查了構造并應用基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0），求函數最值問題，應用基本不等式時要注意等號成立的條件．