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已知數列{an}的首項為1,f(n)=a1
C
1
n
+a2
C
2
n
+…+ak
C
k
n
+…+an
C
n
n
(n∈N+).
(1)若{an}為常數列,求f(4)的值;
(2)若{an}為公比為2的等比數列,求f(n)的解析式;
(3)數列{an}能否成等差數列,使得f(n)-1=(n-1)2n對一切n∈N+都成立.若能,求出數列{an}的通項公式;若不能,試說明理由.
分析:(1)根據{an}為常數列,且首項為1,可得它的通項公式.
(2)若{an}為公比為2的等比數列,則an=2n-1,(n∈N+),用二項式定理以及倒序相加法求得f(n)的解析式.
(3)假設數列{an}能否成等差數列,使得f(n)-1=(n-1)2n對一切n∈N+都成立,設公差為d,用倒序相加法求得f(n)的解析式為 1+(n-1)2n ,可得(d-2)+[2+(n-2)d]•2n-1=0 n∈N+都成立,可得d=2,從而求得數列{an}的通項公式.
解答:解:(1)∵{an}為常數列,且首項為1,故有an=1,
∴f(4)=
C
1
4
+
C
2
4
+
C
3
4
+
C
4
4
=15.
(2)若{an}為公比為2的等比數列,則an=2n-1,(n∈N+).
f(n)=a1
C
1
n
+a2
C
2
n
+…+ak
C
k
n
+…+an
C
n
n
=
C
1
n
+21
C
2
n
+…+2k-1
C
k
n
+…+2n-1
C
n
n

故1+2f(n)=1+
2C
1
n
+22
C
2
n
+…+2k
C
k
n
+…+2n
C
n
n
=(1+2)n=3n
∴f(n)=
3n-1
2

(3)假設數列{an}能否成等差數列,使得f(n)-1=(n-1)2n對一切n∈N+都成立.
設公差為d,則 f(n)=a1
C
1
n
+a2
C
2
n
+…+ak
C
k
n
+…+an
C
n
n
 ①,
且 f(n)=an
C
n
n
+an-1
C
n-1
n
+…+an-k
C
n-k
n
+…+a1
C
1
n
  ②,
把①、②相加可得 2f(n)=2an+(a1+an-1)(
C
1
n
+
C
2
n
+
C
3
n
+…+
C
n-1
n

∴f(n)=an+
a1+an-1
2
C
1
n
+
C
2
n
+
C
3
n
+…+
C
n-1
n
) 
=an+
a1+an-1
2
(2n-2)=1+(n-1)d+[2+(n-2)d](2n-1-1).
∴f(n)-1=(d-2)+[2+(n-2)d]]•2n-1=(n-1)2n 恒成立.
即 (d-2)+(d-2)•[n+2]•2n-1=0 n∈N+都成立,∴d=2,
故存在數列{an}使得f(n)-1=(n-1)2n對一切n∈N+都成立,且通項公式為an=2n-1.(其它方法相應給分)
點評:本題主要考查二項式定理的應用,等差關系的確定,等差數列的通項公式,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}的首項a1=
1
2
,前n項和Sn=n2an(n≥1).
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設b1=0,bn=
Sn-1
Sn
(n≥2)
,Tn為數列{bn}的前n項和,求證:Tn
n2
n+1

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}的首項為a1=2,前n項和為Sn,且對任意的n∈N*,當n≥2,時,an總是3Sn-4與2-
52
Sn-1
的等差中項.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=(n+1)an,Tn是數列{bn}的前n項和,n∈N*,求Tn

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•江門一模)已知數列{an}的首項a1=1,若?n∈N*,an•an+1=-2,則an=
1,n是正奇數
-2,n是正偶數
1,n是正奇數
-2,n是正偶數

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}的首項為a1=3,通項an與前n項和sn之間滿足2an=Sn•Sn-1(n≥2).
(1)求證:數列{
1Sn
}
是等差數列;
(2)求數列{an}的通項公式;
(3)求數列{an}中的最大項.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}的首項a1=
2
3
an+1=
2an
an+1
,n∈N+
(Ⅰ)設bn=
1
an
-1
證明:數列{bn}是等比數列;
(Ⅱ)數列{
n
bn
}的前n項和Sn

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