Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為

6

，且經過點(1，

1

2

)．若直線x+y-1=0與橢圓交于兩點P，Q，求證：OP⊥OQ．

Answer 1

分析：由橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為

6

，橢圓經過點(1，

1

2

)，推導出橢圓方程為

2x2

3

+

4y2

3

=1．由此能夠證明OP⊥OQ．

解答：解：∵橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為

6

，
∴設橢圓方程為

x2

3 2

+

y2

b2

=1，
∵橢圓經過點(1，

1

2

)，
∴

2

3

+

1 4

b2

=1，解得b²=

3

4

，
∴橢圓方程為

2x2

3

+

4y2

3

=1．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x+y-1=0 2x2+4y2=3

，得6x²-8x+1=0，
∴x₁+x₂=

4

3

，x1x2 =

1

6

，
∴y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-

4

3

+

1

6

=-

1

6

．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴OP⊥OQ．

點評：本題考查直線垂直的證明，具體涉及到橢圓方程的性質．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．