Question

如下圖，已知正三棱臺上、下底面面積分別為S₁和S(S₁＜S)，側面與底面所成二面角為，求這個棱臺的側面積．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：如題圖，設正三棱臺ABC－A1B1C1中，O1、O分別為上、下底面中心，D1、D分別為B1C1、BC的中點，連結D1D，則D1D為斜高，∠D1DO為側面B1BCC1與底面ABC所成二面角的平面角，故∠D1DO＝． 　　連結A1D1、AD、O1O，在直角梯形O1ODD1中，O1D1＝B1C1，OD＝BC， 　　∴D1D＝． 　　∴S側＝×3(BC＋B1C1)×D1D＝(BC2－B1C12) 　　＝(×BC2－×B1C12)＝(S－S1)． 　　解法二：如下圖，分別延長AA1、BB1、CC1相交于點P，把正棱臺還原為正三棱錐，連結OA、OB、OC、O1A1、O1B1、O1C1． 　　由射影面積定理可得S△PAB＝，S△PBC＝，S△PAC＝． 　　將以上三式相加，得SP－ABC側＝． 　　同理，＝． 　　∴S正三棱臺側＝SP－ABC側－＝．