Question

已知命題p：對m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥

m2+8

恒成立；命題q：不等式x²+ax+2＜0有解．若p是真命題，q是假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：由已知可得

m2+8

∈[2

2

，3]，而由不等式a²-5a-3≥

m2+8

恒成立可得a²-5a-3≥3，解不等式可求a的范圍，即P的范圍；由不等式x²+ax+2＜0有解，可得△=a²-8＞0，可求q的范圍，結合p真，q假可求

解答：解：∵m∈[-1，1]，
∴

m2+8

∈[2

2

，3]．
∵對m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥

m2+8

恒成立，可得a²-5a-3≥3，
∴a≥6或a≤-1．
故命題p為真命題時，a≥6或a≤-1．
又命題q：不等式x²+ax+2＜0有解，
∴△=a²-8＞0，
∴a＞2

2

或a＜-2

2

．
從而命題q為假命題時，-2

2

≤a≤2

2

，
∴命題p為真命題，q為假命題時，a的取值范圍為-2

2

≤a≤-1．

點評：本題主要考察了復合命題的真假判定的應用，解題的關鍵是根據已知條件分別求解p，q為真時的范圍．