Question

已知圓心為C的圓經過點A（-3，0）和點B（1，0）兩點，且圓心C在直線y=x+1上．
（1）求圓C的標準方程．
（2）已知線段MN的端點M的坐標（3，4），另一端點N在圓C上運動，求線段MN的中點G的軌跡方程；
（3）是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦PQ，且以PQ為直徑的圓經過坐標原點？若存在求出直線l的方程，若不存在說明理由．

Answer 1

（1）設圓C的標準方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²，
由題意列方程組，

(-3-a)2+b2=r2   (1-a)2+b2=r2     b=a+1

，解得，a=-1，b=0，r=2
∴所求圓的方程為：（x+1）²+y²=4
（2）設N（x₁，y₁），G（x，y），
∵線段MN的中點是G，
∴由中點公式得

x1+3 2 =x y1+4 2 =y

?

x1=2x-3 y1=2y-4

∵N在圓C上，∴（2x-2）²+（2y-4）²=4，
即（x-1）²+（y-2）²=1，
∴點G的軌跡方程是（x-1）²+（y-2）²=1．
（3）設存在這樣的直線l，并設直線方程為：y=x+b
由

(x+1)2+y2=4 y=x+b

?2x2+(2b+2)x+b2-3=0?x1x2=

b2-3

2

①
且△=4(b+1)2-8(b2-3)＞0?1-

2

＜b＜1+

2

同理可得：y1y2=

(b-1)2-4

2

②；
∵以PQ為直徑的圓過原點O，
∴OP⊥OQ，即x₁x₂+y₁y₂=0，把①②代入化簡得，b²-b-3=0
解得，b=

1± 13

2

；
∴經檢驗存在兩條這樣的直線l：y=x+

1± 13

2