Question

在經濟學中，函數f（x）的邊際函數Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x），某公司每月生產x臺某種產品的收入為R（x）元，成本為C（x）元，且R（x）=3000x-20x²，C（x）=600x+4000（x∈N^*），現已知該公司每月生產該產品不超過100臺，（利潤=收入-成本）
（1）求利潤函數P（x）以及它的邊際利潤函數MP（x）；
（2）求利潤函數的最大值與邊際利潤函數的最大值之差．

Answer 1

分析：（1）利用題意可得P（x）=R（x）-C（x）計算出即可．MP（x）=P（x+1）-P（x）．x∈[1，100]，x∈N^*．
（2）P（x）=-20（x-60）²+68000，x∈[1，100]，x∈N^*．利用二次函數的單調性即可得出P（x）最大值．由于MP（x）=2380-40x在x∈[1，100]，x∈N^*．是減函數，即可得出x=1時MP（x）取得最大值．故可得利潤函數的最大值與邊際利潤函數的最大值之差．

解答：解：（1）利用題意可得P（x）=R（x）-C（x）=（3000x-20x²）-（600x+4000）=-20x²+2400x-4000，
∴MP（x）=P（x+1）-P（x）=[-20（x+1）²+2400（x+1）-4000]-（-20x²+2400x-4000）=2380-40x．x∈[1，100]，x∈N^*．
（2）P（x）=-20（x-60）²+68000，x∈[1，100]，x∈N^*．
當x=60時，P（x）取得最大值68000元．
∵MP（x）=2380-40x在x∈[1，100]，x∈N^*．是減函數，
∴當x=1時，MP（x）取得最大值2380-40=2340．
故利潤函數的最大值與邊際利潤函數的最大值之差是65660元．

點評：本題考查了“利潤=收入-成本”、邊際函數的意義、二次函數和一次函數的單調性等基礎知識與基本方法，屬于中檔題．