Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點．已知：PA=2，AB=2，BC=2

2

．
（1）求證：CD⊥PD；
（2）求異面直線AE與BC所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）證明CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD；
（2）取PB的中點F，連接AF、EF，△PBC中，利用中位線定理，得到EF∥BC，從而∠AEF或其補角就是異面直線BC與AE所成的角，然后可以通過計算證明出：△AEF是以F為直角頂點的等腰直角三角形，所以∠AEF=45°．

解答：（1）證明：因為PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，所以PA⊥CD．
又 AD⊥CD，PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，
因為PD?平面PAD，所以CD⊥PD．
（2）解：如圖，取PB中點F，連結EF、AF，則EF∥BC，從而∠AEF（或其補角）是異面直線BC與AE所成的角．
在△AEF中，由EF=

2

，AF=

1

2

PB=

2

，
連結AC，因為PC=4，在Rt△PAC中，AE=

1

2

PC=2，所以EF²+AF²=AE²，
所以△AEF是等腰直角三角形，所以∠AEF=45°．
因此，異面直線AE與BC所成的角的大小是45°．

點評：本題考查異面直線及其所成的角和直線與平面垂直的性質等知識，考查學生分析轉化問題的能力，屬于中檔題．