Question

（本小題滿分13分）

　　已知：如圖，長方體中，、分別是棱,上的點，,.

　　（1） 求異面直線與所成角的余弦值；

　　（2） 證明平面；

　　（3） 求二面角的正弦值.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）略

（3）

【解析】解：

　　法一：

　　如圖所示，以點A為坐標原點，建立空間直角坐標系，

　　設,

　　依題意得,,,

　　（1）易得,,

　　　　 于是

　　　　 所以異面直線與所成角的余弦值為

　　（2）已知,

　　　　 ,

　　　　 于是·=0，·=0.

　　　　 因此，,,又

　　　　 所以平面

　　（3）設平面的法向量，則,即

　　　　 不妨令X=1,可得。

　　　　 由（2）可知，為平面的一個法向量。

　　　　 于是，從而,

　　　　 所以二面角的正弦值為

　　法二：

　　（1）設AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=

　　　　 連接B1C,BC1，設B1C與BC1交于點M,易知A1D∥B1C，

　　　　 由,可知EF∥BC1.

　　　　 故是異面直線EF與A1D所成的角，

　　　　 易知BM=CM=,

　　　　 所以 ,

　　　　 所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為

　　（2）連接AC，設AC與DE交點N 因為，

　　　　 所以，從而，

　　　　 又由于,所以，

　　　　 故AC⊥DE,又因為CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，從而AF⊥DE.

　　　　 連接BF，同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,

　　　　 所以AF⊥A1D因為，所以AF⊥平面A1ED.

　　（3）連接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,

　　　　 又NF平面ACF, A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,

　　　　 故為二面角A1-ED-F的平面角.

　　　　 易知，所以，

　　　　 又所以，

　　　　 在

　　　　 ,

　　　　 連接A1C1,A1F 在

　　　　 。所以

　　　　 所以二面角A1-DE-F正弦值為.