Question

某港口水深y（米）是時間t（0≤t≤24，單位：小時）的函數，記作y=f（t），下面是某日水深的數據：

t（小時）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

經長期觀察：y=f（t）的曲線可近似看成函數y=Asinωt+b的圖象（A＞0，ω＞0）．
（1）求函數y=f（t）的近似表達式；
（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離為5米或5米以上時認為是安全的．某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5米，如果該船希望在同一天內安全進出港，請問：它至多能在港內停留多長時間？

Answer 1

分析：（1）由表格得到三角函數的周期，利用周期公式求出ω；利用A等于最大值減去最小值和的一半；b等于最大值加上最小值的差的一半，求出f（t）．
（2）將實際問題轉化為 不等式，列出不等式，結合三角函數的圖象求出不等式的解集．

解答：解：（1）由題知：周期T=12，故ω=

π

6

，
又b=10，A=3，∴y=3sin

π

6

t+10．
（2）由題知：y=3sin

π

6

t+10≥5+6.5，∴sin

π

6

t≥

1

2

1+12k≤t≤5+12k，k∈Z 0≤t≤24

∴1≤t≤5或13≤t≤17
如圖：

當該船1時入港，17時出港，停留時間最長，為16小時．

點評：本題考查據三角函數的性質求三角函數的解析式、結合三角函數的圖象求三角不等式．