Question

數列{a_n}滿足：a₁=

3

2

，若點P_n（3a_n+1，2a_n）在經過點（3，0）和（0，-2）的直線上，
（1）求數列{a_n}的通項公式．
（2）若數列a_n的前n項和為S_n，求數列{

1

S2n+1

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）易求直線方程，代入點P_n坐標，可得遞推式，可判斷{a_n}為等差數列，從而可求得a_n；
（2）由（1）可求S_n，進而可求S_2n+1，利用裂項相消法可求得T_n．

解答：解：（1）直線l的方程為：2x-3y-6=0，
∵6a_n+1-6a_n-6=0，即a_n+1-a_n=1，
∴數列{a_n}是以

3

2

為首項，公差為1的等差數列，
∴an=n+

1

2

；
（2）由（1）知，Sn=

n(n+2)

2

，
∴S2n+1=

(2n+1)(2n+3)

2

，
∴

1

S2n+1

=

2

(2n+1)(2n+3)

=

1

2n+1

-

1

2n+3

，
∴Tn=

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

=

1

3

-

1

2n+3

=

2n

3(2n+3)

；

點評：本題考查等差數列的通項公式、前n項和公式及裂項相消法對數列求和，屬中檔題．