Question

某工廠有一個容量為300噸的水塔，每天從早上6時起到晚上10時止供應該廠的生產和生活用水，已知該廠生活用水為每小時10噸，工業用水量W（噸）與時間t（小時，且規定早上6時t=0）的函數關系為W=100．水塔的進水量分為10級，第一級每小時進水10噸，以后每提高一級，每小時進水量就增加10噸．若某天水塔原有水100噸，在開始供水的同時打開進水管，問進水量選擇為第幾級時，既能保證該廠的用水（水塔中水不空）又不會使水溢出？

Answer 1

解：設進水量選第x級，則t小時后水塔中水的剩余量為：
y=100+10xt-10t-100，且0≤t≤16．
根據題意0＜y≤300，∴0＜100+10xt-10t-100≤300．
當t=0時，結論成立．
當t＞0時，由左邊得x＞1+10（）
令m=，由0＜t≤16，m≥，
記f（t）=1+10（）=1+10m²-10m³，（m≥），
則f′（t）=20m-30 m ²=0得m=0或m=．
∵當≤m＜時，f′（t）＞0；當m＞時，f′（t）＜0，
∴所以m=時（此時t=），f（t）最大值=1+10（）²-10（）³=≈2.48．
當t=時，1+10（）有最大值2.48．∴x＞2.48，即x≥3．
由右邊得x≤+1，
當t=16時，+1取最小值+1=∈（3，4）．
即x≤3．
綜合上述，進水量應選為第3級．
分析：解決本題的關鍵是水塔中的水不空又不會使水溢出，其存水量的平衡與進水量、選擇的進水級別與進水時間相關，而出水量有生活用水與工業用水兩部分構成，故水塔中水的存量是一個關于進水級別與用水時間的函數．因此設進水量選第x級，t小時后水塔中水的剩余量為：y=100+10xt-10t-100，且0≤t≤16．解0＜y≤300，當t＞0時，由左邊得x＞1+10（）．再令m=，以m為單位得到函數y=1+10m²-10m³，（m≥），利用導數討論這個函數的單調性，得出x≥3，再由右邊得x≤+1，類似于前面的討論得出x≤3，從而最終得出x=3．
點評：本題以函數在實際生活中的應用為例，考查了導數在最大值、最小值問題中的應用，屬于難題．著重考查數學建模的基本思想，怎么樣把實際問題轉化為數學問題，進而用已有的數學知識求這個問題的解．在解題過程中運用了化二元為一元，化為基本初等函數的數學思想．