Question

在等比數列{a_n}中，a_n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，且2是a₃與a₅的等比中項，
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₂a_n，數列{b_n}的前n項和為S_n，當

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大時，求n的值．

Answer 1

分析：（1）將數列的已知等式利用等比數列的通項公式用首項、公比表示，解方程組求出首項與公比，利用等比數列的通項公式求出數列{a_n}的通項公式．
（2）求出數列{b_n}的通項，利用等差數列的前n項和公式求出數列{b_n}的前n項和，求出通項

Sn

n

，判斷出當n=9時，其為0得到和最大時n的值．

解答：解：（1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，且2是a₃與a₅的等比中項
∴a₁²q⁴+2a₁²q⁶+a₁²q⁸=25   ①
a₁²q⁶=4   ②
解①②的a1=16，q=

1

2

∴an=16•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-5
故數列{a_n}的通項公式an=(

1

2

)n-5；
（2）∵b_n=log₂a_n=5-n
∴Sn=

(9-n)n

2

∴

Sn

n

=

9-n

2

當n=9時

Sn

n

=

9-n

2

=0
∴

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大時，n=8或9
故n=8或9．

點評：解決等比數列、等差數列兩個特殊數列的有關問題，常利用它們的通項公式、前n項和公式列出方程組，通過解方程組求出通項和公差、公比再求其他量即可．