Question

求：關于x的方程x²-x+1-k²=0
（1）有一個正根且有一個負根的充要條件；
（2）有兩個同號且不相等的實根的充要條件．

Answer 1

分析：（1）根據方程的根與對應函數零點的關系，我們結合已知方程有一個正根且有一個負根，結合對應函數的圖象和性質，易得到其充要條件為函數f（x）=x²-x+1-k²滿足f（0）＜0，解對應的不等式即可求出對應的參數k的值，得到關于x的方程x²-x+1-k²=0有一個正根且有一個負根的充要條件．
（2）根據方程的根與對應函數零點的關系，我們結合已知方程有兩個同號且不相等的實根，結合對應函數的圖象和性質，易得到其充要條件為函數f（x）=x²-x+1-k²滿足

f(0)＞0 f( 1 2 )＜0

，解對應的不等式即可求出對應的參數k的值，得到關于x的方程x²-x+1-k²=0有兩個同號且不相等的實根的充要條件．

解答：解：（1）令f（x）=x²-x+1-k²，
其圖象是開口方向朝上的拋物線
若關于x的方程x²-x+1-k²=0有一個正根且有一個負根
則函數f（x）=x²-x+1-k²，有一個正零點和一個負零點
則f（0）＜0
即1-k²＜0
解得k＜-1，或k＞1，
即關于x的方程x²-x+1-k²=0有一個正根且有一個負根的充要條件為k＜-1，或k＞1
（2）若令f（x）=x²-x+1-k²，
其圖象是開口方向朝上，且以x=

1

2

為對稱軸的拋物線
若關于x的方程x²-x+1-k²=0有兩個同號且不相等的實根
則必有兩個不等的正根，
則函數f（x）=x²-x+1-k²，有兩個正零點
則

f(0)＞0 f( 1 2 )＜0

解得-1＜k＜-

3

2

，或

3

2

＜k＜1
故關于x的方程x²-x+1-k²=0有兩個同號且不相等的實根的充要條件為-1＜k＜-

3

2

，或

3

2

＜k＜1

點評：本題考查的知識點是充要條件，二次函數的性質，函數的零點與方程根的關系，其中根據二次函數的圖象和性質，構造相對的不等式（組）是解答本題的關鍵．