Question

設F₁、F₂分別是橢圓

x2

4

+y2=1的左、右焦點，B（0，-1）．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（Ⅱ）若C為橢圓上異于B一點，且

BF1

=λ

CF1

，求λ的值；
（Ⅲ）設P是該橢圓上的一個動點，求△PBF₁的周長的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓的方程，求出焦點的坐標，化簡

PF1

•

PF2

的 解析式為

1

4

(3x2-8)，結合x∈[-2，2]，求得它的最值．
（Ⅱ）設C（x₀，y₀），由

BF1

=λ

CF1

，用λ 表示 x₀，y₀，把C（x₀，y₀）代入橢圓的方程求得λ值．
（Ⅲ） 因為|PF₁|+|PB|=4-|PF₂|+|PB|≤4+|BF₂|，可得△PBF₁的周長≤4+|BF₂|+|BF₁|≤8．

解答：解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，c=

3

，所以，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
設P（x，y），則

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y)=x2+y2-3 
=x2+1-

x2

4

-3=

1

4

(3x2-8)．
因為x∈[-2，2]，故當x=0，即點P為橢圓短軸端點時，

PF1

•

PF2

有最小值-2．
當x=±2，即點P為橢圓長軸端點時，

PF1

•

PF2

有最大值1．
（Ⅱ）設C（x₀，y₀），B（0，-1），F1(-

3

，0)，由

BF1

=λ

CF1

，得 x0=

3 (1-λ)

λ

，y0=-

1

λ

，
又 

x02

4

+y02=1，所以有 λ²+6λ-7=0，解得λ=-7，（λ=1＞0舍去）．  
（Ⅲ） 因為|PF₁|+|PB|=4-|PF₂|+|PB|≤4+|BF₂|，∴△PBF₁的周長≤4+|BF₂|+|BF₁|≤8．
所以當P點位于直線BF₂與橢圓的交點處時，△PBF₁周長最大，最大值為8．

點評：本題考查橢圓的定義、標準方程，以及橢圓的簡單性質的應用，兩個向量的數量積公式，解得λ=-7把λ=1＞0舍去，是解題的易錯點．