Question

中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一個(gè)橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，且|F1F2|=2

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，橢圓的長(zhǎng)半軸與雙曲線的實(shí)半軸之差為4，離心率之比為3：7．求這兩條曲線的方程．

Answer 1

分析：首先根據(jù)焦點(diǎn)分別在x軸、y軸上進(jìn)行分類(lèi)，不妨先設(shè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)題意與橢圓、雙曲線的性質(zhì)列方程組，再解方程組求得焦點(diǎn)在x軸上的橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后把焦點(diǎn)在y軸上的橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程補(bǔ)充上即可．

解答：解：設(shè)橢圓的方程為

x2

a 2 1

+

y 2

b 2 1

=1，雙曲線得方程為

x2

a 2 2

-

y2

b 2 2

=1，半焦距c=

13

由已知得：a₁-a₂=4，

c

a1

：

c

a2

=3：7，
解得：a₁=7，a₂=3；所以：b₁²=36，b₂²=4，
所以?xún)蓷l曲線的方程分別為：

x2

49

+

y2

36

=1，

x2

9

-

y2

4

=1

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．