Question

已知函數f（x）=ax²+（a-2）x+b定義域為（b，a-1）是偶函數，則函數f（x）的值域為

[-1，1）

．

Answer 1

分析：先由函數的奇偶性知f（-x）=f（x），從而計算出a值，再由偶函數的定義域關于原點對稱知b=1-a，計算得b值，最后確定函數解析式，由二次函數的圖象和性質即可求得函數的值域

解答：解：∵函數f（x）=ax²+（a-2）x+b是偶函數，且定義域為（b，a-1）
∴b=1-a  ①
∵f（-x）=f（x）
∴ax²-（a-2）x+b=ax²+（a-2）x+b   x∈（b，a-1）
∴-（a-2）x≡（a-2）x
∴2-a=a-2
即a=2   ②
由①②得，a=2，b=-1
∴f（x）=2x²-1，定義域為（-1，1）
∴x=0時，函數f（x）取得最小值-1
x=±1時，函數取得最大值1
∴函數f（x）的值域為[-1，1）
故答案為[-1，1）

點評：本題考查了函數的奇偶性及其應用，二次函數的圖象和性質，利用函數性質確定解析式是解決本題的關鍵