Question

已知A(2，8)、B(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)三點(diǎn)在拋物線y²＝2px上，△ABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合．

(1)寫(xiě)出該拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(2)求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)求BC所在直線的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵A(2，8)在拋物線y2＝2px上， 　　∴82＝2p·2．∴2p＝32，p＝16． 　　∴拋物線方程為y2＝32x，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是F(8，0)． 　　(2)設(shè)線段BC中點(diǎn)M(x0，y0)，則x0＝，y0＝， 　　由F為△ABC的重心可知， 　　∴ 　　∴即所求線段BC中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(11，－4)． 　　(3)法一：由于線段BC的中點(diǎn)M不在x軸上，所以BC所在直線不垂直于x軸，設(shè)BC所在直線方程為y＋4＝k(x－11)(k≠0)． 　　由得ky2－32y－32(11k＋4)＝0， 　　∴y1＋y2＝．由(2)知，＝y(tǒng)0＝－4， 　　∴＝－8．∴k＝－4， 　　因此BC所在直線的方程為y＋4＝－4(x－11)，即4x＋y－40＝0． 　　法二：由于線段BC的中點(diǎn)M不在x軸上，所以BC所在直線不垂直于x軸，設(shè)BC所在直線的斜率為k， 　　則k＝． 　　由(2)知y1＋y2＝2y0＝－8，∴k＝－4． 　　因此，BC所在直線的方程為y＋4＝－4(x－11)， 　　即4x＋y－40＝0．

提示：

本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，直線與曲線的交點(diǎn)以及直線方程等知識(shí)．用點(diǎn)坐標(biāo)代入求出拋物線方程，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式、三角形重心坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理等知識(shí)求解本題．