Question

已知Rt△ABC兩銳角A，B的正弦值，是實系數方程2x2-2

3

kx+5k-3=0的兩根．若數列{a_n}滿足an+1=2an-

3

2

k(n∈N*)，且a₁=5．試求數列{a_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：由題意可得x1=sinA，x2=sinB=sin(

π

2

-A)=cosA，結合同角平分關系sin²A+cos²A=1可得x12+x22=1，由方程的根與系數關系可求k=1或k=

2

3

，經檢驗當k=1時，無解不合題意；當k=

2

3

時，符合題意，代入可得an+1=2an-

3

2

k(n∈N*)，從而可得 {a_n-1}是等比數列，可求a_n，由等比數列的求和公式及分組求和的方法可求

解答：解：∵方程的兩根是一個直角三角形的兩銳角A、B的正弦，
令x₁=sinA，x₂=sinB=cosA
∵sin²A+cos²A=1
∴x12+x22=1
∵x₁+x₂=

3

k，x₁x₂=

5k-3

3

∴3k2-2×

5k-3

2

=1，
即3k²-5k+2=0
∴k=1或k=

2

3

．
當k=1時，原方程為x2-

3

x+1=0，△＜0，不合題意．
當k=

2

3

時，原方程為2x2-

4 3

3

x+

1

3

=0，x₁，x₂∈（0，1），符合題意．
∵an+1=2an-

3

2

k(n∈N*)，
∴an+1=2an-1(n∈N*)，an+1-1=2(an-1)(n∈N*)，
從而 {a_n-1}是等比數列，an=2n+1+1
∴T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹+n=

4(1-2n)

1-2

+n=2ⁿ⁺²+n-4．

點評：本題是一元二次方程與三角函數相結合的題目，由遞推公式構造等比數列求數列的通項公式，正確理解一元二次方程的根的判別式以及銳角三角函數的性質是解題關鍵．