Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中點．

(1)求點B到平面PCD的距離；

(2)求二面角C－AE－D的余弦值．

Answer 1

解：(1)如圖，以A為原點，AD、AB、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系A－xyz，

則依題意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0，0,2)，

則P＝(4,0，－2)，C＝(0，－2,0)，B＝(4,0,0)．

設平面PCD的一個法向量為

n＝(x，y,1)，則⇒⇒.

所以平面PCD的一個單位法向量為：

＝(，0，)，

所以＝|(4,0,0)·(，0，)|＝，

則點B到平面PCD的距離為.

(2)由(1)可得E(2,0,1)，易知平面ADE的一個法向量為n₁＝(0,1,0)．

設平面ACE的一個法向量為n₂＝(x′，y′，1)，

又A＝(2,0,1)，A＝(4,2,0)，

則⇒⇒，

所以平面ACE的一個法向量為n₂＝(－，1,1)．

設二面角C－AE－D的大小為θ，

則cos θ＝＝＝.

結合圖形可知二面角C－AE－D的余弦值為.