Question

已知函數f(x)＝lnx＋2x，g(x)＝a(x²＋x)，若f(x)≤g(x)恒成立，則實數a的取值范圍是________．

 

Answer 1

【答案】

[1，＋∞)

【解析】設F(x)＝f(x)－g(x)，其定義域為(0，＋∞)，則F′(x)＝＋2－2ax－a＝，x∈(0，＋∞)．

 

當a≤0時，F′(x)>0，F(x)單調遞增，F(x)≤0不可能恒成立，

當a>0時，令F′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)．

 

當0<x<時，F′(x)>0，當x>時，F′(x)<0，故F(x)在(0，＋∞)上有最大值F，

 

由題意F≤0恒成立，即ln＋－1≤0，令φ(a)＝ln＋－1，則φ(a)在(0，

 

＋∞)上單調遞減，且φ(1)＝0，故ln＋－1≤0成立的充要條件是a≥1.答案：[1，＋∞)