Question

如圖，已知PA⊥α，PB⊥β，垂足分別是A，B，且α∩β=l，．
（Ⅰ）求證：l⊥平面PAB；
（Ⅱ）若PA=PB=

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AB，判斷平面α與平面β的位置關系，并給出證明．

Answer 1

分析：（I）欲證l⊥平面PAB，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證l與平面PAB內兩相交直線垂直，而PA⊥l，PB⊥l，PA∩PB=P，滿足定理條件；
（II）設l與平面PAB的交點為H，連接AH，BH，根據二面角平面角的定義可知∠AHB是二面角α-l-β的平面角，利用勾股定理可證∠AHB=90°，根據面面垂直的定義可知平面α⊥平面β．

解答：解：（Ⅰ）因為PA⊥α，l?α，所以PA⊥l，同理PB⊥l．
又PA∩PB=P，所以l⊥平面PAB．
（Ⅱ）設l與平面PAB的交點為H，連接AH，BH．
因為l⊥平面PAB，所以AH⊥l，BH⊥l，
所以∠AHB是二面角α-l-β的平面角．
又PA=PB=

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AB，所以PA²+PB²=AB²，
即∠AHB=90°．
所以平面α⊥平面β．

點評：本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及直線與平面垂直的判定等有關知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉化思想，屬于基礎題．