Question

如圖所示的幾何體是由以正三角形ABC為底面的直棱柱被平面DEF所截而得，AB=2，BD=1，CE=3，AF=a，O為AB的中點(diǎn)，
（1）當(dāng)a=4時(shí)，求平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值；
（2）當(dāng)a為何值時(shí)，在棱DE上存在點(diǎn)P，使CP⊥平面DEF？

Answer 1

解：（1）分別取AB、DF的中點(diǎn)O、G， 連接OC、OG， 以直線OB、OC、OG分別為x軸、y軸、z軸 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， ， 則D、E、F的坐標(biāo)分別為D（1，0，1）、 E（0，，3）、F（-1，0，4）， ∴=（-1，，2），=（-2，0，3）， 設(shè)平面DEF的法向量， 由， 得， 可取， 平面ABC的法向量可以取， ∴， ∴平面DEF與平面ABC的夾角的余弦值為。  （2）在（1）的坐標(biāo)系中，AF=a， =（-1，，2），=（-2，0，a-1）， 因P在DE上，設(shè)， 則 ， ∴ ， 于是CP⊥平面DEF的充要條件為 ， 由此解得，， 即當(dāng)a=2時(shí)，在DE上存在靠近D的第一個(gè)四等分點(diǎn)P， 使CP⊥平面DEF。