Question

設函數f（x）的定義域為R，當x＜0時，0＜f（x）＜1，且對于任意的實數x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）；
（2）試判斷函數f（x）在[0，+∞）上是否存在最小值，若存在，求該最小值；若不存在，說明理由；
（3）設數列{a_n}各項都是正數，且滿足a₁=f（0），f(

a

2 n+1

-

a

2 n

)=

1

f(-an+1-an)

（n∈N^*），又設bn=(

1

2

)an，S_n=b₁+b₂+…+b_n，Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，當n≥2時，試比較S_n與T_n的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據對于任意的實數x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y），令y=0，x=-1可求出f（0）的值；
（2）先利用函數單調性的定義證明該函數的單調性，從而可求出函數的最小值，從而求出所求；
（3）根據條件f(

a

2 n+1

-

a

2 n

)=

1

f(-an+1-an)

可得f（a_n+1²-a_n²-a_n+1-a_n）=f（0），又f（x）在R上為增函數，從而得到
數列{a_n}為等差數列，求出通項公式，然后利用裂項求和法可求出T_n，利用等比數列的求和公式可求出S_n，根據當n≥2時，2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+C_n²+…＞1+n可比較S_n與T_n的大小．

解答：解：（1）令y=0，x=-1得f（-1）=f（-1）f（0），又f（-1）＞0
∴f（0）=1
（2）∵x＜0時，f（x）＞0
∴x＞0時，f（x-x）=f（x）f（-x）=1得f(x)=

1

f(-x)

＞0，
故對于x∈R，f（x）＞0
任取實數x₁，x₂，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0∴0＜f（x₁-x₂）＜1
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＜f（x₂）
∴f（x）在R上為增函數
∴f（x）在[0，+∞）上存在最小值，
即f（x）_min=f（0）=1；
（3）由f(

a

2 n+1

-

a

2 n

)=

1

f(-an+1-an)

得f（a_n+1²-a_n²）f（-a_n+1-a_n）=1=f（0）
即f（a_n+1²-a_n²-a_n+1-a_n）=f（0），又f（x）在R上為增函數
∴a_n+1²-a_n²-a_n+1-a_n=0
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，又數列{a_n}各項都是正數
∴a_n+1-a_n=1，n∈N^*
∴數列{a_n}為等差數列，a_n=a₁+（n-1）•1=f（0）+n-1=n
∵

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，∴Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=1-

1

n+1

而Sn=b1+b2+…+bn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n=1-

1

2n

當n≥2時，2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+C_n²+…＞1+n，
故

1

2n

＜

1

n+1

∴S_n＞T_n
綜上，S_n＞T_n（n∈N^*且n≥2）

點評：本題主要考查了數列與不等式的綜合，以及等比數列求和與裂項求和法，同時考查了計算能力和分析問題的能力，屬于難題．