Question

對于數列{a_n}，從第二項起，每一項與它前一項的差依次組成等比數列，稱該等比數列為數列{a_n}的“差等比數列”，記為數列{b_n}．設數列{b_n}的首項b₁=2，公比為q（q為常數）．
（I）若q=2，寫出一個數列{a_n}的前4項；
（II）a₁與q滿足什么條件，數列{a_n}是等比數列，并證明你的結論；
（III）若a₁=1，數列{a_n+c_n}是公差為q的等差數列，且c₁=q，求數列{c_n}的通項公式；并證明當1＜q＜2時，c₅＜-2q²．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為數列{b_n}是等比數列，且b₁=2，q=2，所以b₂=4，b₃=8，
所以a₁=1，a₂=3，a₃=1，a₁₅=15．（寫出滿足條件的一組即可）…（2分）
（Ⅱ）因為數列{b_n}是等比數列，首項b₁=2，公比為q，，所以b₂=2q，b₃=2q²，
所以a₂=a₁+2，a₃=a₁+2+2q．
因為數列{a_n}是等比數列，
所以，即（a₁+2）²=a₁×（a₁+2+2q）
所以．
所以當時，數列{a_n}是等比數列．…（5分）
（Ⅲ）因為{a_n+c_n}是公差為q的等差數列，所以（a_n+c_n）-（a_n-1+c_n-1）=q
∵a_n-a_n-1=2q^n-2，
∴c_n-c_n-1=q-2q^n-2，
∴c_n=c₁+（c₂-c₁）+…+（c_n-c_n-1）=nq-2（q^n-2+2q^n-3+…+q+1）=nq-
∴c₅=5q-=-2q³-2q²+3q-2
∴c₅-（-2q²）=2q（1-q²）+（q-2）．
∵1＜q＜2，∴1-q²＜0，q-2＜0．
∴c₅-（-2q²）＜0
∴c₅＜-2q²． …（13分）
分析：（Ⅰ）根據數列{b_n}是等比數列，且b₁=2，q=2，可得b₂=4，b₃=8，由此可求個數列{a_n}的前4項；
（Ⅱ）先確定a₂=a₁+2，a₃=a₁+2+2q，根據數列{a_n}是等比數列，即可求出公比；
（Ⅲ）先確定c_n-c_n-1=q-2q^n-2，再利用疊加法，即可求數列{c_n}的通項公式，從而可證明1＜q＜2時，c₅＜-2q²．
點評：本題考查新定義，考查等比數列的證明，考查疊加法求數列的和，正確理解新定義是關鍵．