Question

已知橢圓C的中心在原點，一個焦點F（-2，0），且長軸長與短軸長的比是2：

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設點M（m，0）在橢圓C的長軸上，點P是橢圓上任意一點．當|

MP

|最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由題意

a2=b2+c2 a：b=2： 3 c=2.

解得a²=16，b²=12．
所以橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1
（Ⅱ）設P（x，y）為橢圓上的動點，由于橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1，故-4≤x≤4．
因為

MP

=(x-m，y)，
所以|

MP

|2=(x-m)2+y2=(x-m)2+12×(1-

x2

16

)=

1

4

x2-2mx+m2+12=

1

4

(x-4m)2+12-3m2．
因為當|

MP

|最小時，點P恰好落在橢圓的右頂點，
即當x=4m時，|

MP

|2取得最小值．而x∈[-4，4]，
故有4m≥4，解得m≥1．
又點M在橢圓的長軸上，即-4≤m≤4．
故實數m的取值范圍是m∈[1，4]．